Opsiyon Fiyatlaması

[ToKoBa]

Opsiyon Fiyatlamasına Giriş

Bir opsiyonun fiyatı hakkında bugünden kesin olarak bilinen tek şey, vade sonundaki değeridir. Call opsiyonunun vade sonundaki değeri max{0,S-K}, Put opsiyonunun vade sonundaki değeri max{0,K-S}'e eşittir (S: opsiyon sözleşmesine konu kıymetin spor fiyatı, K: opsiyonun kullanım fiyatı). Bugün ile vade sonu arasında opsiyonun fiyatı, Call opsiyonları için spot fiyatın kullanım fiyatının üzerine çıkma veya Put opsiyonları için kullanım fiyatının altına düşme olasılığına bağlıdır. Bir opsiyonun fiyatını iki bileşene ayırmak mümkündür:

İçsel değer (instrinsic value): Call opsiyonları için max{0,S-K}, Put opsiyonları için max{0,K-S} değerine eşittir. İçsel değer, opsiyon fiyatının bugünden kesin olarak bilinebilen bileşenidir.

Zaman değeri (time value): Opsiyonun piyasa fiyatı ile içsel değeri arasındaki farka eşittir. Zaman değeri bir takım faktörlere bağlı olarak belirlenir, bu nedenle bugünden kesin olarak bilinemez.

Opsiyonun Fiyatı = İçsel Değer + Zaman Değeri

Opsiyon bileşenleri için cüzdan benzetmesini kullanabiliriz. Boş bir cüzdanın belirli bir değeri vardır ve bu değer derinin fiyatı, finansman maliyeti, işçilik ücretleri ve enflasyon gibi bir takım faktörlere bağlı olarak belirlenir. Piyasa değeri 15 YTL olan boş bir deri cüzdanın içine 50 YTL konulacak olursa o cüzdanın değeri artık 15 YTL değil, 65 YTL olmalıdır. Örnekte boş cüzdanın değerini opsiyonun zaman değerine, içindeki para miktarını da içsel değere benzetmek mümkündür. Cüzdanın değeri, bu iki değerin toplamından oluşacaktır.

İçinde 50 YTL olan bir cüzdan 15 YTL'ye satılırsa ne olur? Açıktır ki cüzdanı satın alan kişi bu işlemin hemen ardından cüzdana bedelsiz sahip olmanın yanı sıra 35 YTL de kar edecektir. Bu arbitraj imkanını ortadan kaldırmak için cüzdanın en az 65 YTL'ye satılması gerekir.

Aynı şekilde 50 YTL kullanım fiyatlı bir Call opsiyonu, opsiyona konu kıymetin spot fiyatı 70 YTL ise 20 YTL'nin altında satılmamalıdır. Bu opsiyonu satın alan kişi 50 YTL'ye aldığı hisse senedini spot piyasada 70 YTL'ye satarak anında 20 YTL'lik bir kar potansiyeline sahiptir. Bu nedenle opsiyonun fiyatı 20 YTL + zaman değeri şeklinde hesaplanır.

Opsiyonun Fiyatına Etki Eden Faktörler

Bir opsiyonun fiyatına etki eden 6 faktör vardır:

1. Opsiyona konu kıymetin spot fiyatı: Opsiyona konu kıymetin spot fiyatı arttıkça, kara geçme olasılığı artacağı için Call opsiyonunun fiyatı artar, zararda olma olasılığı artacağı için Put opsiyonunun fiyatı düşer. Örnek vermek gerekirse bir hisse senedinin spot fiyatı 10 YTL iken bu hisse senedi üzerine yazılmış kullanım fiyatı 10 YTL olan bir adet Call ve bir adet Put opsiyonu olsun. Opsiyonların her ikisi de başabaş durumdadır. Hisse senedinin fiyatı 12 YTL'ye yükselirse Call opsiyonu karda opsiyon, Put opsiyonu da zararda opsiyon durumuna geçecektir. Dolayısı ile Call opsiyonunun fiyatı yükselirken, Put opsiyonunun fiyatı düşecektir.

2. Opsiyona konu kıymete ilişkin gelirler: Taşıma maliyeti modelinden de hatırlanacağı üzere, opsiyona konu kıymete ilişkin gelirler arttıkça, Call opsiyonunun fiyatı düşer, Put opsiyonunun fiyatı artar. Bu konuda verilebilecek en güzel somut örnek hisse senedi kar payı ödemeleridir. Kar payı ödemesi yapan bir hisse senedinin fiyatı düşeceği için bir önceki maddede yapılan açıklama gereği Call opsiyonunun fiyatı düşecek, Put opsiyonunun fiyatı artacaktır.

3. Kullanım fiyatı: Bir opsiyonun kullanım fiyatı arttıkça, kara geçme olasılığı azalacağı için Call opsiyonun fiyatı düşer, kara geçme olasılığı artacağı için Put opsiyonunun fiyatı yükselir. Kullanım fiyatları 10 YTL ve 15 YTL olan hisse senedi üzerine yazılmış iki adet Call opsiyonu olsun. Hisse senedinin fiyatı yükseldikçe, ilk önce kara geçecek olan opsiyon 10 YTL kullanım fiyatlı olandır. Bu yüzden kullanım fiyatı 10 YTL olan Call opsiyonunun fiyatı, kullanım fiyatı 15 YTL olan opsiyonun fiyatından yüksektir. Aynı şekilde, hisse senedi fiyatı düşerken ilk önce kara geçecek opsiyon 15 YTL kullanım fiyatlı Put opsiyonudur. Bu nedenle kullanım fiyatı 15 YTL olan Put opsiyonunun fiyatı, kullanım fiyatı 10 YTL olan Put opsiyonun fiyatından yüksektir.

4. Vade sonuna kalan zaman: Vadeye kalan zaman arttıkça Amerikan tipi bir opsiyonun finansman maliyeti ile beraber kara geçme olasılığı da artacağı için hem Call, hem de Put opsiyonunun fiyatı artar. Örneğin kullanım fiyatı 50 YTL olan aynı hisse senedi üzerine yazılmış iki Call opsiyonundan birincisinin vadesine 1 ay, ikincisinin vadesine 3 ay kalmış olsun. Paranın 3 aylık finansman maliyeti, 1 aylık maliyetinden yüksek olduğu için ve bir opsiyonun 3 ayda kara geçme olasılığınının 1 ayda kara geçme olasılığından yüksek olduğu için kullanım fiyatları aynı olmasına rağmen vadesine 3 ay kalan opsiyonun fiyatı daha yüksektir. Avrupa tipi opsiyonlar için durum farklıdır. Kar payı ödemelerinden dolayı kısa vadeli bir opsiyonun fiyatı, aynı kullanım fiyatlı uzun vadeli bir opsiyonun fiyatından yüksek olabilir. Bu nedenle vade sonuna kalan zamanın Avrupa tipi opsiyon fiyatı üzerindeki etkisi belirsizdir.

5. Opsiyona konu kıymete ilişkin volatilite: Finans teorisi rasyonel bir yatırımcı için risk ile getiri arasında pozitif bir ilişkinin varlığından söz eder. Alınan risk yükseldikçe yatırımcılar daha yüksek getiri bekler. Yüksek volatilite yüksek risk anlamına geleceği için, opsiyona konu kıymetin fiyat değişkenliği (volatilitesi) arttıkça, opsiyondan beklenen getiri de artacağından hem Call, hem de Put opsiyonunun fiyatı artar.

6. Risksiz faiz oranı: Risksiz faiz oranının artması, gelecekte opsiyondan elde edilebilecek karların bugünkü değerini düşüreceğinden Call ve Put opsiyonlarının fiyatını düşürücü yönde etki yapar. Diğer taraftan faiz oranlarının artması, hisse senedinden beklenen getiriyi artıracağı için hisse senedinin fiyatı artar. Hisse senedinin fiyatının artması Call opsiyonunun fiyatını artırırken Put opsiyonunun fiyatını düşürür. Faiz oranı artışının yarattığı her iki etki de Put opsiyonu fiyatını düşürdüğü için risksiz faiz oranı artınca Put opsiyonu fiyatının düşmesi kesindir. Aynı şeyi Call opsiyonu için söylemek mümkün değildir, çünkü birinci etki Call opsiyonu fiyatını düşürürken, ikincisi artırmaktadır. Yapılan araştırmalarda ikinci etkinin birinci etkiye baskın olduğu anlaşılmıştır. Sonuç olarak risksiz faiz oranı artarken Call opsiyonu fiyatının artması beklenir.

Avrupa Tipi Opsiyonların Fiyatlaması

Avrupa tipi opsiyonların fiyatlaması, Amerikan tipi opsiyonların fiyatlamasına nazaran daha kolaydır. Bu nedenle bu bölümde Avrupa tipi opsiyonların fiyatlaması üzerinde durulacaktır. Gerek binomial modelde, gerekse Black and Scholes (B&S) modelinde üzerine opsiyon yazılan hisse senedinin vade sonuna kadar kar dağıtmadığı, dönem içerisinde hisse senedi volatilitesinin ve faiz oranlarının sabit olduğu, hisse senedine ait logaritmik fiyat getirilerinin normal dağıldığı ve tahmine dayalı (stokastik) bir proses izlediği varsayılmaktadır.

Binomial Model Yardımıyla Opsiyon Fiyatlama

Binomial modelde hisse senedi fiyatının bir sonraki zaman diliminde belirli bir oran nispetinde artacağı veya düşeceği kabul edilir. Hisse senedi fiyatının zaman dilimleri arasında artış oranı ve olasılığı sabittir ve bugünden bellidir. Fiyat bir sonraki dönem sadece iki değer alabileceği için artış olasılığı q ile ifade ediliyorsa, düşüş olasılığı (1-q) olacaktır. Söz konusu olasılığın risk-nötr olasılık olduğu unutulmamalıdır.

Hisse senedinin artış oranına u dersek, düşüş oranı d=1/u ile hesaplanır. Binomial modelde dikkat edilmesi gereken husus, her zaman için u>r>d şeklinde seçilmelidir; aksi halde arbiraj imkanı doğar.

Hisse senetleri riskli enstrümanlar olduğu için beklenen değerleri risksiz faiz oranından yüksektir. Hisse senetlerinin beklenen değerleri, yatırımcının risk profiline göre değişebileceği için opsiyon fiyatlama modellerinde risk-nötr olasılıklar kullanılır. Yukarıda q ile ifade edilen bu olasılık q=(r-d)/(u-d) şelinde hesaplanır.

Tüm veriler sağlandıktan sonra öncelikle her dönem için hisse senedinin alabileceği değerler hesaplanır. Ardından vade sonunda her bir dal için opsiyonun değeri bulunarak ilgili olasılıkla çarpılır. Toplam değer risksiz faiz oranı ile bugüne indirgenerek opsiyonun fiyatı bulunur. Aşağıdaki şekilde iki dönem için hisse senedinin ve Call opsiyonunun alacağı değerler ve olasılıklar gösterilmiştir:





Şekilde Cuu Call opsiyonunun hisse senedi fiyatının iki dönem üst üste yükseldiği durumdaki fiyatını, Cdu Call opsiyonunun hisse senedi fiyatının bir dönem yükselip bir dönem düştüğü durumdaki fiyatını, Cdd ise Call opsiyonunun hisse senedi fiyatının iki dönem üst üste düştüğü durumdaki fiyatını temsil etmektedir. Bu senaryoda opsiyonun bugünkü fiyatı aşağıdaki formül yardımıyla bulunabilir:



Formülde yer alan dönem sonu opsiyon fiyatlarının başında yer alan ifadeler, ilgili opsiyon fiyatının risk-nötr gerçekleşme olasılığıdır.

Örnek: Spot fiyatı 50 YTL olan bir hisse senedinin bir aylık sürede %70 olasılıkla %10 artması beklenmektedir. Faiz oranı yıllık %24 ise kullanım fiyatı 50 YTL olan 2 ay vadeli Call ve Put opsiyonlarının bugünkü fiyatını binomial model yardımıyla hesaplayalım.

Yukarıdaki örnekte u=1,1, d=0,909 ve r=1,02'dir. Hisse senedinin fiyatı bir ay sonra %70 olasılıkla 55 YTL, %30 olasılıkla 45,45 YTL olacaktır. Hisse senedinin gerçek olasılıklar kullanılarak hesaplanan bir ay sonraki beklenen değeri 52,14 YTL'dir:

E(St+1) = (0,70)(55) + (0,30)(45,45) = 52,14 YTL

Bir ay sonraki 52,14 YTL'nin bugünkü değeri ise 51,11 YTL'dir:

E(St) = 52,14 / 1,02 = 51,11 YTL

Dikkat edilirse beklenen değeri 51,11 YTL olan bir hisse senedinin spot fiyatı 50 YTL'dir. Aradaki 1,11 YTL'lik farka risk primi adı verilir ve hisse senedinin faiz oranından daha riskli bir enstrüman olmasından kaynaklanmaktadır. Risk-nötr olasılık, hisse senedinin beklenen değerini spot fiyatına eşitleyen olasılıktır.

q = (1,02-0,909)/(1,1-0,909) = 0,581 ve (1-q) = 0,419

Risk-nötr olasılıklar kullanılarak hisse senedinin bir ay sonraki beklenen değeri hesaplanırsa:

E(St+1) = (0,581)(55) + (0,419)(45,45) = 51 YTL

Bir ay sonraki 51 YTL'nin bugünkü değeri ise 50 YTL'ye, yani spot fiyata eşittir:

E(St) = 51 / 1,02 = 50 YTL

Risk-nötr olasılık hesaplandıktan sonra hisse senedi fiyatının 2 aylık seyri, Call opsiyonunun vade sonunda alabileceği değerler ve olasılıkları aşağıdaki gibidir:



Her bir değerin olasılığını hesaplamak için bir önceki şekilde verilen formüller kullanılabileceği gibi, MS Excel© içindeki binomial olasılık dağılımı fonksiyonundan da yararlanılabilir.

=BINOMDIST(başarı sayısı;deneme sayısı;başarı olasılığı;0)

Örneğin hisse senedi fiyatının üst üste 2 kez yükselme olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

=BINOMDIST(2;2;0,581;0) = 0,338

Call opsiyonunun bir ay sonraki beklenen değeri 3,54 YTL'dir.

E(Ct+1) = (0,338)(10,5) + (0,487)(0) + (0,176)(0) = 3,54 YTL

Bir ay sonraki 3,54 YTL'nin bugünkü değeri ise bize Call opsiyonunun fiyatını verecektir:

E(Ct) = C = 3,54 / (1,02)2 = 3,41 YTL

Put opsiyonunun fiyatı da benzer şekilde hesaplanabilir:


Put opsiyonunun bir ay sonraki beklenen değeri 1,524 YTL'dir.

E(Pt+1) = (0,338)(0) + (0,487)(0) + (0,176)(8,68) = 1,524 YTL

Bir ay sonraki 1,524 YTL'nin bugünkü değeri ise bize Put opsiyonunun fiyatını verecektir:

E(Pt) = P = 1,524 / (1,02)2 = 1,465 YTL

Çok Dönemli Binomial Fiyatlama

Dönem sayısı arttıkça opsiyonun fiyatını yukarıdaki şekilde hesaplamak güçleşir. Bir dizi matematiksel işlemden sonra binomial opsiyon fiyatlama formülü aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir.



Formülde p'=up/r olarak tanımlanmıştır. a sayısı ise Call opsiyonunun karda olabilmesi için hisse senedi fiyatının minimum yapması gereken yukarı hareket sayısıdır ve aşağıdaki formül yardımıyla bulunur. Formüldeki e, bulunan sayının en yakın tamsayıya yukarıya doğru yuvarlanması gerektiğini ifade eder:



F[a;n,p] ve F[a;n,p'] terimleri opsiyonun karda olduğu durumlar için binomial olasılık toplamlarıdır. Yukarıdaki örnekteki dönem sayısını 5 aya çıkarıp genelleştirilmiş formül yardımıyla Call opsiyonunun fiyatını yeniden hesaplayabiliriz. Hesaplamalarda p=0,581 ve p'=0,627'dir:



Yukarıdaki şekilde a'nın nasıl bulunacağı basit bir yolla gösterilmiştir. Buna göre dönem sonunda opsiyonun kara geçtiği ilk hisse senedi fiyatı bulunduktan sonra bu fiyattan geriye ve yukarıya doğru çıkılır. Fiyat ağacının sona erdiği dönem bize a sayısını verecektir. Şekilde Call opsiyonunun ilk kara geçtiği fiyat 55 YTL'dir. Fiyat ağacında bir dönem geriye ve yukarıya çıkıldığında 4. dönemdeki 60,50 YTL bulunur. Aynı işlem tekrarlandığında 3. dönemdeki 66,55 YTL'ye ulaşılır. Bu noktada ağaç sona erdiği için a=3'dür.

Yine şekilden görülebileceği üzere F[a;n,p]=0,649 ve F[a;n,p']=0,727'dir. Bu değerlere ulaşmak için tek tek binom olasılıkları toplamak yerine MS Excel'de aşağıdaki fonksiyon kullanılabilir:

=1-BINOMDIST(deneme sayısı-başarı sayısı;deneme sayısı;başarı olasılığı;1)

Başarı sayısı yerine binomial modelde bulduğumuz a sayısı alınır. Örneğimizde verileri yerine koyarsak:

=1-BINOMDIST(2;5;0,581;1) = 0,649 ve

=1-BINOMDIST(2;5;0,627;1) = 0,727

Bu veriler genelleştirilmiş binomial opsiyon fiyatlama formülünde kullanılarak Call opsiyonunun fiyatı aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

C = (50)(0,727) - (50)(0,906)(0,649) = 6,966

Piyasa Verilerinin Binomial Modele Uydurulması

Bilindiği üzere gerçek piyasa koşullarında her hisse senedinin geçmiş veriler kullanılarak hesaplanan bir ortalaması ve standart sapması mevcuttur.

Kaynak : Vadeli İşlemler